Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 10x+7=11x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 10x+7=11x. L'égalité est-elle vraie si x=14 ? si x=7 ?

Quand x=14, on donne 14 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
, soit 147 et pour l'autre membre, soit 154. Les nombres 147 et 154 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=14. On dit aussi que 14 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour x=7.
Pour le membre de gauche : soit 77. Et pour l'autre membre, soit 77. Quand x=7, les deux membres sont égaux ; on dit que 7 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?
[ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation v-14=24, on procède ainsi :

La solution de l'équation est v=38.

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation h+2=22, on procède ainsi :

La solution de l'équation est h=20.

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation 5a=54, on procède ainsi :

La solution de l'équation est a=10,8.

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation , on procède ainsi :

La solution de l'équation est i=48.

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit i ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a huit fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 6 à la somme de leur âge, on trouve un 42.

Solution

Choix de l'inconnue Soit i l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a huit fois son âge, donc son âge est de : 8i ;
  La somme de leur âge est donc de 8i+i=9i.
  Si on ajoute 6 à la somme de leur âge, on trouve 42, d'où l'équation 9i+6=42
- Résolution
Augustin a donc 4 ans. (Bonus : son père a 32 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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